Izomorfisme

Cănd lucră în teoria categoriilor dar și alte teorii matematice nu avem de multe ori noțiunea de egalitate, însă avem de cele mai multe ori noțiunea de izomorfism care este cel puțin la fel de puternică. În cazul mulțimilor și a funcțiilor conceptul de izomorfism se regăsește în noțiunea de funcții bijective doar că un izomorphism este o generalizare. La fel cum funcțiile bijective sunt funcții în același timp injective și surjective, izomorphismele sunt mofisme care sunt atât monomorfisme cât și epimorfisme.

Monomorfisme

Un morphism $f : a \rightarrow b$ este un monomorfism dacă pentru orice obiect $x$ și oricare două morfisme $g_1, g_2 : x \rightarrow a$ dacă $f \circ g_1 = f \circ g_2$ atunci $g_1 = g_2$. Implicarea aici este că în termeni de mulțimi hom avem o funcție injectivă $Hom(x, a) \xhookrightarrow{} Hom(x, b)$. Monomorfismele în categoria $\mathbb{Set}$ sunt funcții injective.

Epimorfisme

Un morphism $f : a \rightarrow b$ este un epimorfism dacă pentru orice obiect $x$ și oricare două morfisme $g_1, g_2 : b \rightarrow x$ dacă $g_1 \circ f = g_2 \circ f$ atunci $g_1 = g_2$. Implicarea aici este că în termeni de mulțimi hom avem o funcție injectivă $Hom(b, x) \xhookrightarrow{} Hom(a, x)$. Este împortant de observat că aceasta ramane o funcție injectivă ca la monomorfisme, nu este o funcție surjectivă, însă epimorfirmele în $\mathbb{Set}$ sunt funcții surjective.