Tipuri de morfisme

Cănd lucră în teoria categoriilor dar și alte teorii matematice nu avem de multe ori noțiunea de egalitate, însă avem de cele mai multe ori noțiunea de izomorfism care este cel puțin la fel de puternică. În cazul mulțimilor și a funcțiilor conceptul de izomorfism se regăsește în noțiunea de funcții bijective doar că un izomorphism este o generalizare. La fel cum funcțiile bijective sunt funcții în același timp injective și surjective, izomorphismele sunt mofisme care sunt atât monomorfisme cât și epimorfisme dar nu toate morfismele care sunt în același timp mono și epi sunt izomorfirme, mai trebuie să satisfacă incă o condiție pentru inversă.

Monomorfisme

Un morphism $f : A \rightarrow B$ este un monomorfism (sau zis mono sau monic) dacă pentru orice obiect $x$ și oricare două morfisme $g_1, g_2 : X \rightarrow X$ dacă $f \circ g_1 = f \circ g_2$ atunci $g_1 = g_2$. Implicarea aici este că în termeni de mulțimi hom avem o funcție injectivă $Hom(X, A) \xhookrightarrow{} Hom(X, B)$. Monomorfismele în categoria $\mathbb{Set}$ sunt funcții injective.

Epimorfisme

Un morphism $f : A \rightarrow B$ este un epimorfism (sau zis epi sau epic) dacă pentru orice obiect $x$ și oricare două morfisme $g_1, g_2 : B \rightarrow X$ dacă $g_1 \circ f = g_2 \circ f$ atunci $g_1 = g_2$. Implicarea aici este că în termeni de mulțimi hom avem o funcție injectivă $Hom(B, X) \xhookrightarrow{} Hom(A, X)$. Este împortant de observat că aceasta ramane o funcție injectivă ca la monomorfisme, nu este o funcție surjectivă, însă epimorfirmele în $\mathbf{Set}$ sunt funcții surjective.

Inverse

Înainte e a defini izomorfisme trebuie să definim noțiunea de morfisme inverse. Dacă avem o pereche de morfisme $s : A \rightarrow B$ și $r : B \rightarrow A$ care compuse dau identitatea $r \circ s = id_{A}$ spunem că:

• $s$ este un split monomorfism
• $r$ este un split epimorfism
• $r$ este retactarea (retraction) lui $s$ sau inversa stângă a lui $s$
• $s$ este secțiunea (section) lui $r$ sau inversa dreaptă a lui $r$
• perechea $(r, s)$ este un splitting a idempotentului $s \circ r : B \rightarrow B$

Din proprietatea că $r \circ s = id_{A}$ reiese și faptul că $s$ este un monomorfism și $s$ este un epimorfism în felul următor:

Pentru $s$. Fie $g_1, g_2 : A \rightarrow X$, dacă $s \circ g_1 = s \circ g_2$ atunci:

$$s \circ g_1 = s \circ g_2 \Rightarrow$$ $$r \circ s \circ g_1 = r \circ s \circ g_2 \Rightarrow$$ $$id_{A} \circ g_1 = id_{A} \circ g_2 \Rightarrow$$ $$g_1 = g_2$$

Pentru $r$. Fie $g_1, g_2 : A \rightarrow X$, dacă $g_1 \circ r = g_2 \circ r$ atunci:

$$g_1 \circ r = g_2 \circ r \Rightarrow$$ $$g_1 \circ r \circ s = g_2 \circ r \circ s \Rightarrow$$ $$g_1 \circ id_{A} = g_2 \circ id_{A} \Rightarrow$$ $$g_1 = g_2$$

Aici este important de înțeles că $r \circ s = id_{A}$ nu implică automat că $s \circ r = id_{B}$, implică doar că morfismul $s \circ r$ este idempotent. Un morfism $e : X \rightarrow X$ este idempotent dacă $e \circ e = e$. $s \circ r$ este idempotent deoarece:

$$s \circ r \circ s \circ r = s \circ id_{A} \circ r = s \circ r$$

Izomorfisme

Dacă pentru morfism $f$ există $f^{-1}$ care este atăt inversa stângă și cât și dreaptă pentru $f$ acesta este inversa bilaterală sa iar $f$ este un izomorfism.

Dacă un morfism admite o inversă, atunci aceasta este unică.

Pentru inversa stângă. Presupunem că un morfism $f : A \rightarrow B$ are inversa bilaterală $f^{-1} : B \rightarrow A$ și că un morphism $g : B \rightarrow A$ care este o inversă stângă a lui f. Atunci:

$$g = g \circ id_B = g \circ f \circ f^{-1} = id_A \circ f^{-1} = f^{-1}$$

Pentru inversa dreaptă. Presupunem că un morfism $f : A \rightarrow B$ are inversa $f^{-1} : B \rightarrow A$ și că un morphism $g : B \rightarrow A$ care este o inversă dreaptă a lui f. Atunci:

$$g = id_A \circ g = f^{-1} \circ f \circ g = f^{-1} \circ id_B = f^{-1}$$

Adesea în teoria categoriilor se menționează că un obiect cu o anumită proprietate este unic până la un izomorfism. Acest lucru înseamnă că pot exista mai multe obiect cu o proprietatea specifică dar fiecare are un izomorfism cu fiecare.

Izomorfisme naturale

Fie doi functori $F, G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ și o transformare naturală $\alpha : F \Rightarrow G$. Spunem că transformarea naturală $\alpha$ este un izomorfism natural dacă toate componentele tranformării naturale au inverse bilaterale. Din moment ce pentru această transformare naturală fiecare componentă are inversă acestea formează o tranformare $\alpha^{-1} : G \Rightarrow F$. Astfel cele doua compuse dau tranformatea naturală pentru identitate, $\alpha^{-1} \circ \alpha = id_F$, $\alpha \circ \alpha^{-1} = id_G$. Echivalent putem spune că $F$ și $G$ sunt natural izomorfe.