Categorii închise

Adesea multe construcții în teoria categoriilor vor face referire la ce numim functorul hom intern (sau internal hom-functor). Este un functor special care apare în cazul categoriilor închise și în cele mai multe cazuri închiderea lor este compatibilă cu alte structuri suplimentare pe care le are categoria.

Categorii închise

O categorie $\mathcal{C}$ este o categorie închisă dacă are următoarea structură:

• are un functor $[-, -] : \mathcal{C}^{op} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$
• are un obiect $I \in Ob(\mathcal{C})$ numit obiect unitate
• are un izomorfism natural $i : Id_\mathcal{C} \Rightarrow [I, -]$
• morfisme de tipul $j_X \rightarrow [X, X]$
• morfisme de tipul $L^X_{Y, Z}[Y, Z] \rightarrow [[X, Y], [X, Z]]$
• exista o mapare bijectivă $\gamma_{X,Y} : Hom(X, Y) \rightarrow Hom(I, [X, Y])$ definit prin $f \mapsto [id_I, f](j_X)$ $f : X \rightarrow Y$

Cu proprietatea că următoarele diagrame comută:

Practic, acest tip de categorie are obiecte ce reprezinta propriile morfisme ale categoriei, le internalizează. Vom vedea că definiția acestor categorii este similară cu definiția îmbogățirii categoriilor. Această internalizare prin hom-ul intern corespunde cu hom-functorul obișnuit și este extrem de folositor pentru că în anumite căzuri este mai ușor de vorbit în termeni de hom intern, dar acest lucru este mai evident în cazul categoriilor carteziene închise.