Categorii monoidale

Definition: Categorie monoidală

O categorie monoidală $(\mathcal{M}, \otimes, I_\mathcal{M}, a, l, r)$ este o categorie $\mathcal{M}$ echipată cu:

• Un functor $\otimes : \mathcal{M} \times\ \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$ din produsul categoriei $\mathcal{M}$ cu ea însăși, numit produsul tensorial.
• Un obiect $I_\mathcal{M} \in Ob(\mathcal{M})$ numit obiect unitate sau unitatea tensorului.
• Un izomorfism natural $a : ((-)\otimes (-)) \otimes (-) \overset{\simeq}{\longrightarrow} (-) \otimes ((-)\otimes(-))$ cu componente de forma $a_{X,Y,Z} : (X \otimes Y) \otimes Z \overset{\simeq}{\longrightarrow} X \otimes (Y \otimes Z)$ numit asociatorul.
• Un izomorfism natural $l : I_\mathcal{M} \otimes (-) \overset{\simeq}{\longrightarrow} (-)$ cu componente de forma $l_X : I_\mathcal{M} \otimes X \overset{\simeq}{\longrightarrow} X$ numit unitorul stâng.
• Un izomorfism natural $r : (-) \otimes (I_\mathcal{M}) \overset{\simeq}{\longrightarrow} (-)$ cu componente de forma $r_X : X \otimes I_\mathcal{M} \overset{\simeq}{\longrightarrow} X$ called unitorul drept.

astfel încât următoarele doua diagrame comută pentru toate obiectele: