Cuvântul "algebră" poate avea mai multe semnificații în matematică dar în contextul teoriei categoriilor când spunem "algebră" ne vom referii în general la F-algebre sau algebre peste endofunctori. În acest context, o algebră încapsulează noțiunea de structură algebraică și este o noțiune foarte utilă pentru a definii structuri de date, mai ales structuri recursive.

Definiție: Algebră peste un endofunctor

Fie $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ un endofunctor. O algebră a lui $F$ este o pereche $(a, \alpha)$ unde $a \in Ob(\mathcal{C})$, numit și carrier, și $\alpha : Fa \rightarrow a \in Hom(\mathcal{C})$. Dacă din context morfismul $\alpha$ este cunoscut sau unic atunci carrier-ul este referit ca fiind algebra.

Un homomorfism între algebre $(a, \alpha)$ și $(b, \beta)$ este un morfism $f : a \rightarrow b$ pentru care $\beta \circ Ff = f \circ \alpha$, adică următoarea diagramă comută:

Din algebre și homomorfisme între acestea peste endofunctorul $F$ putem forma o categorie iar dacă există obiectul inițial în acea categorie acesta este algebra inițială, adică avem câte un homomorfism unic de la acea algebră la oricare altă algebră a lui $F$. Algebra inițială este un concept foarte important pentru că putem defini tipuri de date recursiv.

Teorema lui Lambek

Dacă pentru un endofunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ există algebra inițială $(a, \alpha)$ atunci $a$ este izomorf cu $Fa$ prin $\alpha$.

Pentru că $(Fa, F\alpha)$ este tot o algebră și $(a, \alpha)$ este inițial atunci există un morfism unic $i : a \rightarrow Fa$ pentru care $i \circ \alpha = F\alpha \circ Fi$, dar cum $(a, \alpha)$ este inițială și homomorfismul unic către ea însăși este dat de identitatea $id_a$ rezultă că $\alpha \circ i = id_a$ și atunci $i \circ \alpha = id_{Fa}$. Putem vedea cum se leagă toate aceste lucruri în diagrama următoare: