Limite și colimite

În această secțiune vom discuta limite și colimite. Acestea sunt o generalizare a produselor și coproduselor carteziene și sunt noțiuni fundamentale pentru a înțelege concepte mai complexe din teoria categoriilor cum ar fi (co)end calculus.

Conuri

Fie un functor $F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}$ unde categoria $\mathcal{J}$ este o forma (shape). Un con pentru $F$ este un obiect $o \in Ob(\mathcal{C})$ și o familie de morfisme $psi$ cu componente $psi_x : o \rightarrow Fx \in Hom(\mathcal{C})$ pentru care $\forall f : x \rightarrow y \in Hom(\mathcal{J})$, $\psi_y = Ff \circ \psi_x$ ca în următoarea diagrama comutativă:

Coconuri

Fie un functor $F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}$ unde categoria $\mathcal{J}$ este o forma (shape). Un cocon pentru $F$ este un obiect $o \in Ob(\mathcal{C})$ și o familie de morfisme $phi$ cu componente $phi_x : Fx \rightarrow o \in Hom(\mathcal{C})$ pentru care $\forall f : x \rightarrow y \in Hom(\mathcal{J})$, $\phi_x = \phi_y \circ Ff$ ca în următoarea diagrama comutativă:

Limite

Fie un functor $F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}$. O limită pentru $F$ este un con $(lim F, \psi)$ pentru care există un morfism unic $u : o \rightarrow lim F$ de la oricare con $(o, \psi')$ către $lim F$ cu proprietatea pentru toate componentele $\psi_x \circ u = \psi'_x$. Cu alte cuvinte, orice familie de morfisme ale unui con pentru $F$ factorizează printr-un morfism unic sau putem spune că limita este conul terminal.

Colimite

Fie un functor $F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}$. O colimită pentru $F$ este un cocon $(colim F, \phi)$ pentru care există un morfism unic $u : colim F \rightarrow o$ de la oricare cocon $colim F$ către $(o, \phi')$ cu proprietatea pentru toate componentele $u \circ \phi_x = \phi'_x$. Cu alte cuvinte, orice familie de morfisme ale unui cocon pentru $F$ factorizează printr-un morfism unic sau putem spune că colimita este coconul inițial.