Lema lui Yoneda

Cel mai important rezultat în teoria categoriilor este lema lui Nobuo Yoneda, aceasta o vom demonstra în cadrul categoriilor local mici. Această lemă stă la bază a ce numim (co)end calculus pentru a determina obiecte cu proprietăți universale dar această lemă mai are o consecință foarte la modul în care privim obiectele într-o categorie.

Lema lui Yoneda

Fie $\mathcal{C}$ o categorie local mică atunci $\forall A \in Ob(\mathcal{C})$:

• (varianta covariantă) pentru un functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ mulțimea transformărilor naturale de la hom-funtorul $Hom(A, -)$ la $F$ sunt în corespondență de unu la unu cu elementele lui $FA$, $Nat(Hom(A, -), F) \equiv Hom(Hom(A, -), F) \cong FA$
• (varianta contravariantă) pentru un functor $F : \mathcal{C}^{op} \rightarrow \mathbf{Set}$ mulțimea transformărilor naturale de la hom-funtorul $Hom(-, A)$ la $F$ sunt în corespondență de unu la unu cu elementele lui $FA$, $Nat(Hom(-, A), F) \equiv Hom(Hom(-, A), F) \cong FA$

Cazul covariant

Pentru a stabili o bijecție între cele două mulțimi trebuie să definim două funcții și să arătăm că dă identitatea când le compunem în oricare ordine. Luăm prima dată cazul covariant.

Se definește funcția $\theta : Nat(Hom_\mathcal{C}(A, -), F) \rightarrow FA$ care ia o transformare naturală $\alpha$ și o duce în elementul $\theta(\alpha) = \alpha_A(id_A)$, aici trebuie mai multe explicații. Pentru că avem $id_A \in Hom_\mathcal{C}(A, A)$ atunci componenta $\alpha_A : Hom_\mathcal{C}(A, A) \rightarrow FA$ ia $id_A$ și o va duce în $Fid_A = id_{FA}$ prin definiție. Cu alte cuvinte, luăm o transformare naturală și uită de toate componentele în afară de componenta pe identitatea lui $A$.

Se definește funcția $\tau : FA \rightarrow Nat(Hom_\mathcal{C}(A, -), F)$ care ia un element $a \in FA$ și îl duce în transformarea naturală $\tau(a) : Hom_\mathcal{C}(A, -) \Rightarrow F$ cu componente $\tau(a)_B : Hom_\mathcal{C}(A, B) \rightarrow FB$ pentru care $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(A, B)$ $\tau(a)_B(f) = F(f)(a)$, adică, un element din $Hom_\mathcal{C}(A, B)$ este dus la maparea sa dată de $F$ aplicată pe $a$. Astfel $\tau$ este o funcție care ia un element din $FA$ și dă o transformare naturală care corespunde la acel element.

Se poate vedea clar că $\tau$ duce într-o transformare naturală pentru că $\forall g : B \rightarrow C$ există relația:

$$Fg \circ \tau(a)_B = \tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(A, g)$$

Reprezentând următoarea diagramă:

Care rescrisă este pentru un $f : A \rightarrow B$ este:

$$Fg \circ \tau(a)_B(f) = Fg \circ F(f)(a) = F(g \circ f)(a) = F(Hom_\mathcal{C}(A, g)(f))(a) = (\tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(A, g))(f)$$

Acum verificăm compunerile:

• $\forall a \in FA$, $(\theta \circ \tau)(a) = \theta(\tau(a)) = \tau(a)_A(id_A) = id_{FA}(a)$, cu alte cuvinte

$$\theta \circ \tau = id_{Nat(Hom(A, -), F)}$$

• $\forall \alpha : Hom_\mathcal{C}(A, -) \Rightarrow F$, $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(A, B)$:

$$\tau(\theta(\alpha))_B(f) = \tau(\alpha_A(id_A))_B(f) = F(f)(\alpha_A(id_A)) = \alpha_B(Hom_\mathcal{C}(A, f)(id_A)) = \alpha_B(f)$$

În acest caz componentele lui $\tau(\theta(\alpha))(f)$ pică exact pe componentele corespunzătoare din $\alpha(f)$ și astfel obținem identitățile pe transformările naturale.

Cazul contravariant

Pentru cazul contravariant demonstrația este similară:

Se definește funcția $\theta : Nat(Hom_\mathcal{C}(-, A), F) \rightarrow FA$ care ia o transformare naturală $\alpha$ și o duce în elementul $\theta(\alpha) = \alpha_A(id_A^{op})$, aici trebuie mai multe explicații.

Se definește funcția $\tau : FA \rightarrow Nat(Hom_\mathcal{C}(-, A), F)$ care ia un element $a \in FA$ și îl duce în transformarea naturală $\tau(a) : Hom_\mathcal{C}(-, A) \Rightarrow F$ cu componente $\tau(a)_B : Hom_\mathcal{C}(B, A) \rightarrow FB$ pentru care $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(B, A)$ $\tau(a)_B(f) = F(f)(a)$.

Se poate vedea clar că $\tau$ duce într-o transformare naturală pentru că $\forall g : C \rightarrow B$ există relația:

$$Fg \circ \tau(a)_B = \tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(g, A)$$

Reprezentând următoarea diagramă:

Care rescrisă este pentru un $f : B \rightarrow A$ este:

$$Fg \circ \tau(a)_B(f) = Fg \circ F(f)(a) = F(f \circ g)(a) = F(Hom_\mathcal{C}(g, A)(f))(a) = (\tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(g, A))(f)$$

Acum verificăm compunerile:

• $\forall a \in FA$, $(\theta \circ \tau)(a) = \theta(\tau(a)) = \tau(a)_A(id_A^{op}) = id_{FA}(a)$, cu alte cuvinte

$$\theta \circ \tau = id_{Nat(Hom(-, A), F)}$$

• $\forall \alpha : Hom_\mathcal{C}(-, A) \Rightarrow F$, $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(B, A)$:

$$\tau(\theta(\alpha))_B(f) = \tau(\alpha_A(id_A^{op}))_B(f) = F(f)(\alpha_A(id_A^{op})) = \alpha_B(Hom_\mathcal{C}(f, A)(id_A^{op})) = \alpha_B(f)$$

Și în acest caz componentele lui $\tau(\theta(\alpha))(f)$ pică exact pe componentele corespunzătoare din $\alpha(f)$ și astfel obținem identitățile pe transformările naturale.

Resurse

• The Yoneda lemma