Lema lui Yoneda

Cel mai important rezultat în teoria categoriilor este lema lui Nobuo Yoneda, aceasta o vom demonstra în cadrul categoriilor local mici. Această lemă stă la bază a ce numim (co)end calculus pentru a determina obiecte cu proprietăți universale dar această lemă mai are o consecință foarte la modul în care privim obiectele într-o categorie.

Lema lui Yoneda

Fie $\mathcal{C}$ o categorie local mică atunci $\forall A \in Ob(\mathcal{C})$:

• (varianta covariantă) pentru un functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ mulțimea transformărilor naturale de la hom-funtorul $Hom(A, -)$ la $F$ sunt în corespondență de unu la unu cu elementele lui $FA$, $Nat(Hom(A, -), F) \equiv Hom(Hom(A, -), F) \cong FA$
• (varianta contravariantă) pentru un functor $F : \mathcal{C}^{op} \rightarrow \mathbf{Set}$ mulțimea transformărilor naturale de la hom-funtorul $Hom(-, A)$ la $F$ sunt în corespondență de unu la unu cu elementele lui $FA$, $Nat(Hom(-, A), F) \equiv Hom(Hom(-, A), F) \cong FA$

Cazul covariant

Pentru a stabili o bijecție între cele două mulțimi trebuie să definim două funcții și să arătăm că dă identitatea când le compunem în oricare ordine. Luăm prima dată cazul covariant.

Se definește funcția $\theta : Nat(Hom_\mathcal{C}(A, -), F) \rightarrow FA$ care ia o transformare naturală $\alpha$ și o duce în elementul $\theta(\alpha) = \alpha_A(id_A)$, aici trebuie mai multe explicații. Pentru că avem $id_A \in Hom_\mathcal{C}(A, A)$ atunci componenta $\alpha_A : Hom_\mathcal{C}(A, A) \rightarrow FA$ ia $id_A$ și o va duce în $Fid_A = id_{FA}$ prin definiție. Cu alte cuvinte, luăm o transformare naturală și uită de toate componentele în afară de componenta pe identitatea lui $A$.

Se definește funcția $\tau : FA \rightarrow Nat(Hom_\mathcal{C}(A, -), F)$ care ia un element $a \in FA$ și îl duce în transformarea naturală $\tau(a) : Hom_\mathcal{C}(A, -) \Rightarrow F$ cu componente $\tau(a)_B : Hom_\mathcal{C}(A, B) \rightarrow FB$ pentru care $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(A, B)$ $\tau(a)_B(f) = F(f)(a)$, adică, un element din $Hom_\mathcal{C}(A, B)$ este dus la maparea sa dată de $F$ aplicată pe $a$. Astfel $\tau$ este o funcție care ia un element din $FA$ și dă o transformare naturală care corespunde la acel element.

Se poate vedea clar că $\tau$ duce într-o transformare naturală pentru că $\forall g : B \rightarrow C$ există relația:

$$Fg \circ \tau(a)_B = \tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(A, g)$$

Reprezentând următoarea diagramă:

Care rescrisă este pentru un $f : A \rightarrow B$ este:

$$Fg \circ \tau(a)_B(f) = Fg \circ F(f)(a) = F(g \circ f)(a) = F(Hom_\mathcal{C}(A, g)(f))(a) = (\tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(A, g))(f)$$

Acum verificăm compunerile:

• $\forall a \in FA$, $(\theta \circ \tau)(a) = \theta(\tau(a)) = \tau(a)_A(id_A) = id_{FA}(a)$, cu alte cuvinte

$$\theta \circ \tau = id_{Nat(Hom(A, -), F)}$$

• $\forall \alpha : Hom_\mathcal{C}(A, -) \Rightarrow F$, $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(A, B)$:

$$\tau(\theta(\alpha))_B(f) = \tau(\alpha_A(id_A))_B(f) = F(f)(\alpha_A(id_A)) = \alpha_B(Hom_\mathcal{C}(A, f)(id_A)) = \alpha_B(f)$$

În acest caz componentele lui $\tau(\theta(\alpha))(f)$ pică exact pe componentele corespunzătoare din $\alpha(f)$ și astfel obținem identitățile pe transformările naturale.

Cazul contravariant

Pentru cazul contravariant demonstrația este similară:

Se definește funcția $\theta : Nat(Hom_\mathcal{C}(-, A), F) \rightarrow FA$ care ia o transformare naturală $\alpha$ și o duce în elementul $\theta(\alpha) = \alpha_A(id_A^{op})$, aici trebuie mai multe explicații.

Se definește funcția $\tau : FA \rightarrow Nat(Hom_\mathcal{C}(-, A), F)$ care ia un element $a \in FA$ și îl duce în transformarea naturală $\tau(a) : Hom_\mathcal{C}(-, A) \Rightarrow F$ cu componente $\tau(a)_B : Hom_\mathcal{C}(B, A) \rightarrow FB$ pentru care $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(B, A)$ $\tau(a)_B(f) = F(f)(a)$.

Se poate vedea clar că $\tau$ duce într-o transformare naturală pentru că $\forall g : C \rightarrow B$ există relația:

$$Fg \circ \tau(a)_B = \tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(g, A)$$

Reprezentând următoarea diagramă:

Care rescrisă este pentru un $f : B \rightarrow A$ este:

$$Fg \circ \tau(a)_B(f) = Fg \circ F(f)(a) = F(f \circ g)(a) = F(Hom_\mathcal{C}(g, A)(f))(a) = (\tau(a)_C \circ Hom_\mathcal{C}(g, A))(f)$$

Acum verificăm compunerile:

• $\forall a \in FA$, $(\theta \circ \tau)(a) = \theta(\tau(a)) = \tau(a)_A(id_A^{op}) = id_{FA}(a)$, cu alte cuvinte

$$\theta \circ \tau = id_{Nat(Hom(-, A), F)}$$

• $\forall \alpha : Hom_\mathcal{C}(-, A) \Rightarrow F$, $\forall f \in Hom_\mathcal{C}(B, A)$:

$$\tau(\theta(\alpha))_B(f) = \tau(\alpha_A(id_A^{op}))_B(f) = F(f)(\alpha_A(id_A^{op})) = \alpha_B(Hom_\mathcal{C}(f, A)(id_A^{op})) = \alpha_B(f)$$

Și în acest caz componentele lui $\tau(\theta(\alpha))(f)$ pică exact pe componentele corespunzătoare din $\alpha(f)$ și astfel obținem identitățile pe transformările naturale.

Concluzii

Lema lui Yoneda este fundamentală pentru teoria categoriilor pentru simplul fapt că putem trece foarte între nivele abstracte diferite, aici trecem de la mulțimi de transformări naturale la mulțimi și invers.

Resurse

• The Yoneda lemma