Functori adjuncți

Un lucru care este foarte important de discutat în teoria categoriilor este echivalența între categorii. Pentru categorii nu avem o definiție strictă pentru echivalență cum ar fi o corespondență unu la unu între mulțimea de obiecte și cea a morfismelor între două categorii ci avem o corespondență prin functori pe care în numim functori adjuncți.

Definiție: functori adjuncți

Fie două categorii $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ și doi functori $L : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ și $R : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$. Spunem că $L \dashv R$ sunt o pereche de functori adjuncți și că $L$ este adjunctul stâng și $R$ adjunctul drept dacă:

$$Hom_\mathcal{D}(L(-), =) \simeq Hom_\mathcal{C}(-, R(=))$$

Cu alte cuvinte $\forall C \in Ob(\mathcal{C})$, $\forall D \in Ob(\mathcal{D})$ trebuie să existe o bijecție între mulțimile hom $Hom_\mathcal{D}(L(C), D) \simeq Hom_\mathcal{C}(C, R(D))$. Vom spune că bijecția este naturală în $C$ și în $D$ pentru că următoarea diagramă comuta prin compunerea de morfismelor pentru $f : C_2 \rightarrow C_1,~g : D_1 \rightarrow D_2$:

O proprietate a functorilor adjuncți este că îi putem exprima ca o pereche unitate-counitate. Pentru functorii adjuncți $L \dashv R$ avem două transformări naturale $\eta : Id_\mathcal{C} \Rightarrow R \circ L$ numită unitate și $\epsilon : L \circ R \Rightarrow Id_\mathcal{D}$ numită counitate. Fiecare transformare naturală este compusă din imaginile mofismelor identitate a acestei bijecții:

$$id_{L(C)} : L(C) \rightarrow L(C) \mapsto \eta_C : C \rightarrow RL(C)$$ $$id_{R(D)} : R(D) \rightarrow R(D) \mapsto \epsilon_D : LR(D) \rightarrow D$$

Din acest motiv avem o multiplicare și comultiplicare compatibilă cu unitățile pentru endofunctorul $R \circ L$, respectiv $L \circ R$. Multiplicarea, respectiv comultiplicarea, se referă la faptul că pentru un functor $F$ multiplicarea este o transformare naturală $F \circ F \Rightarrow F$ iar comultiplicarea este o transformare naturală $F \Rightarrow F \circ F$. În cazul adjuncțiilor multiplicarea și comultiplicarea sunt:

$$\mu : R \circ L \circ R \circ L \xRightarrow{R \epsilon L} R \circ L$$ $$\delta : L \circ R \xRightarrow{L \eta R} L \circ R \circ L \circ R$$

Vom vedea că din acest motiv toți functorii adjuncți produc monade $T = R \circ L$ și comonade $G = L \circ R$ care sunt monoizi, respectiv comonoizi, în categoria endofunctorilor.